Matemáticos e matemáticos adoram brincar com números. E quando um novo ano começa, não é incomum procurarmos maneiras de dividir o número que estamos contabilizando de alguma forma surpreendente ou curiosa. Este ano propomos escrever 2026 como uma soma … número infinito. À primeira vista, isso pode não parecer grande coisa, mas e se disséssemos que poderíamos usar exatamente os mesmos termos para continuar a dar parabéns todos os anos e para sempre? Você só precisa reorganizá-los para obter 2026, 2027 ou qualquer outro número como resultado. Esta afirmação é o chamado teorema da série de Riemann.
Uma série é a soma de um número infinito de termos, por exemplo, a soma de um número infinito de unidades, todos os números pares, números primos ou as seguintes frações 1/2+ ¼+1/8+1/16+1/32+…. O seu comportamento muitas vezes desafia a nossa intuição. Embora existam muitas séries que somam infinito, como nos três primeiros exemplos acima, uma das primeiras surpresas é que algumas séries, apesar de terem termos infinitos, podem resultar em um número finito e completamente definido.
É o caso do último exemplo citado: a série 1/2+ ¼+1/8+1/16+1/32+…, cuja soma é 1. Isso é fácil de perceber se você interpretar geometricamente, considerando cada um dos termos da série como a área de uma sequência de retângulos.
Como mostra a imagem, começamos com um quadrado de lado um, cuja área é 1. Se dividirmos em duas partes iguais e pegarmos uma delas, obtemos um retângulo de área ½, que é o primeiro termo da série. A metade restante é novamente dividida em dois retângulos iguais, dos quais é considerado um, agora com área de ¼, que corresponde ao segundo membro da série. Repetindo o mesmo processo, em cada etapa são adicionados retângulos menores (correspondentes a todos os membros da série) e resta uma área cada vez menor. Embora um quadrado completo (aquele com área 1) nunca seja preenchido em um número finito de etapas, à medida que o processo continua indefinidamente, a área acumulada (que é igual à soma dos termos da série) se aproxima da área total de um quadrado com lado 1. No infinito, a área 1 é completamente coberta, o que mostra que a soma é exatamente 1.
Matematicamente, diz-se que a série converge (neste caso para 1). Ou seja, ao considerar somas parciais (que são somas obtidas somando apenas um número finito de termos da série, os primeiros n termos), elas se aproximam cada vez mais do número fixo para o qual a série converge; no caso anterior – para 1, pois a cada passo a área do quadrado esquerdo diminui. Usando somas parciais, você pode chegar o mais próximo possível do valor de convergência expandindo convenientemente a lista de termos. Em nosso exemplo, após somar o número n de termos, obtemos uma área total igual a 1 – 1/2^n. Então se você quiser que a soma seja 0,999, basta somar 10 retângulos; Se quiser atingir uma área de 0,99999999, você precisará de 27 retângulos; e se você quiser alcançar 0,999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999, então será suficiente somar cem desses números.
Eles nem sempre concordam
No entanto, nem todas as séries cujos termos se aproximam de zero convergem: por exemplo, a série harmônica (nomeada devido à sua ligação com harmônicos musicais) ½ + 1/3+ ¼ + 1/5… adiciona termos cada vez mais próximos de zero, mas não converge. Por outro lado, se os sinais dos termos se alternam (o chamado harmônico alternado), ou seja, ½ – 1/3+ ¼ – 1/5…, então a série realmente converge, ou seja, para o logaritmo natural de 2.
É claro que a convergência da série harmônica alternada é mais fraca do que a de outras séries, por exemplo, 1/2+¼+1/8+1/16+1/32+…, uma vez que não converge absolutamente, para usar o nome matemático usual. Uma série converge absolutamente se, tomando todos os termos da série e tornando-os positivos (isto é, dado o seu valor absoluto, que é igual ao tamanho do número independentemente do seu sinal), a sua soma continua a convergir. No caso de uma série harmônica alternada, ao considerarmos os valores absolutos dos termos, voltamos a uma série harmônica que não converge.
Neste tipo de série, que é convergente mas não absoluta, acontece algo ainda mais inesperado: o seu valor depende da ordem da soma. Com efeito, de acordo com o teorema das séries de Riemann (formulado em 1854 pelo matemático alemão Bernhard Riemann), ao reorganizar os termos deste tipo de série, a soma pode assumir qualquer valor. Em certo sentido, a propriedade comutativa que se ensina na escola já não é verdadeira, segundo a qual a ordem em que os números são somados não afeta o resultado final (ou seja, não importa se a ação é 3+5 ou 5+3, o significado é o mesmo).
Entre Teoremas é uma unidade matemática para todos os públicos promovida pelo Instituto de Ciências Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM).
